Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức

Tìm giá chỉ ganh lớn số 1 (GTLN) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa chấp vết căn, biểu thức chứa chấp vết độ quý hiếm vô cùng,…) là 1 trong mỗi dạng toán lớp 9 có khá nhiều bài bác kha khá khó khăn và yên cầu kiến thức và kỹ năng áp dụng hoạt bát trong những việc.

Bạn đang xem: các bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất lớp 9

Bài viết lách này tiếp tục share với những em một vài cơ hội thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa chấp vết căn, chứa chấp vết độ quý hiếm vô cùng,…) qua chuyện một vài bài bác tập dượt minh họa rõ ràng.

° Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến chuyển số)

– Muốn thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 hoặc độ quý hiếm nhỏ nhất của một biểu thức tớ rất có thể thay đổi biểu thức trở thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo đuổi x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x – 3. Tìm GTNN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = x² + 2x – 3 = x² + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)² – 4

– Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² – 4 ≥ -4

⇒ A ≥ – 4 vết vị xẩy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

– Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x – 5. Tìm GTLN của A.

° Lời giải:

– Ta có: A = -x² + 6x – 5 = -x² + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)² + 4 = 4 – (x – 3)²

– Vì (x – 3)² ≥ 0 ⇒ -(x – 3)² ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 vết vị xẩy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: A_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức:

– Tìm x nhằm A_max; tính A_max =?

° Lời giải:

– Để A đạt gía trị lớn số 1 thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt độ quý hiếm nhỏ nhất.

– Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

– Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi và giao lưu dn1

° Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vết căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến chuyển số)

– Cũng tương tự động như cơ hội thăm dò ở cách thức bên trên, áp dụng đặc thù của biểu thức ko âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

– Dấu “=” xẩy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: $small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

° Lời giải:

– Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x – 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: $small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

° Lời giải:

– Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x – 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu “=” xẩy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

Xem thêm: cách bấm máy tính giải hệ phương trình

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên độ quý hiếm nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: $small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt độ quý hiếm lớn số 1 thì small x-sqrt{x}+2 đạt độ quý hiếm nhỏ nhất

– Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu”=” xẩy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

– Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1, độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức chứa chấp vết độ quý hiếm tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến chuyển số)

– Bài toán này cũng hầu hết phụ thuộc tính ko âm của trị vô cùng.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

° Lời giải:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5

Dấu “=” xẩy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3

° Lời giải:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3

Dấu “=” xẩy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, những việc bên trên dựa vào những thay đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức ko âm (bình phương, trị vô cùng,…) và hằng số nhằm thăm dò đi ra điều giải. Thực tế, còn nhiều việc cần dùng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) mang lại nhị số a, b ko âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu “=” xẩy ra khi a =b) hay vận dụng bất đẳng thức chứa chấp vết độ quý hiếm tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức: $small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

° Lời giải:

– Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

– sát dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức đối chiếu thân thích khoảng nằm trong và khoảng nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu “=” xẩy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

– Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức: $small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

° Lời giải:

– Vì a > 1 nên a – 1 > 0 tớ có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ [Áp dụng bất đẳng thức Cauchy tớ được]

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu “=” xẩy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu ĐK a > 1 nên chỉ có thể nhận a = 2; loại a = 0.

– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với nội dung bài viết Cách thăm dò độ quý hiếm lớn số 1 (GTLN, Max) và độ quý hiếm nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức phía trên chung những em làm rõ rộng lớn về dạng toán này.

Việc áp dụng vào cụ thể từng việc yên cầu khả năng thực hiện toán của những em, khả năng này còn có được khi những em chịu khó rèn luyện trải qua nhiều bài bác tập dượt, chúc những em học tập chất lượng.

Đăng bởi: thcs Hồng Thái

Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền nội dung bài viết nằm trong Trường trung học cơ sở Hồng Thái TP Hải Phòng. Mọi hành động sao chép đều là gian giảo lận!

Nguồn phân chia sẻ: Trường thcs Hồng Thái (indonesia-hanoi.org.vn)

Xem thêm: phong trào cách mạng 1930 đến 1931